Skip to main content

Výpočet Macaulayovy durace krok za krokem

V minulém článku byl představen základní koncept durace dluhopisu podle svého tvůrce F. Macaulaye. Pojďme nyní projít výpočtem Macaulayovy durace u konkrétního vybraného existujícího dluhopisu. Duraci není nezbytně nutné vypočítávat tímto způsobem, existují například internetové kalkulačky, které tuto funkci zastanou. Funkce pro tyto výpočty jsou obsaženy též v různých tabulkových procesorech (např. MS Excel, Numbers, atd.). Cílem je však poodkrýt samotný postup a logiku. Pro podpůrné výpočty je vhodné použití například Excelu nebo některého z jiných tabulkových softwarů.
Obrázek 1: výčet očekávaných příjmů
do splatnosti dluhopisu
Vybraným dluhopisem je státní dluhopis České republiky s poměrně dlouhou dobou do splatnosti, který má označení CZGB 2.0/33. Tento reálný dluhopis má ISIN CZ0001005243. Dluhopis má splatnost v roce 2033, přesně tedy 13.10.2033. Dluhopis vyplácí jednou ročně kupon ve výši 2 %. Kupon je splatný vždy k 13.10. daného roku. Pro účely výpočtu je též potřeba si určit tržní úrokovou sazbu. V tomto případě použijeme nejdelší dostupnou, tedy jednoletou, referenční úrokovou sazbu PRIBOR, která je aktuálně na úrovni 2.21 % p.a. Při výpočtu budeme brát v úvahu nominální objem dluhopisu ve výši CZK 100 000.

Postup výpočtu probíhá v následujících krocích:

Krok 1: Vydefinujeme si příjmy z dluhopisu (obrázek 1). Vybraný dluhopis vyplácí kupon jednou ročně (vždy v říjnu). Splatnost dluhopisu nastane v říjnu 2033, kdy bude vyplacen poslední kupon a dojde ke splacení jistiny, tedy nominálního objemu.
Obrázek 2: výpočet diskontního 
faktoru
Krok 2: Vypočítáme tzv. diskontní faktor pro každé období (obrázek 2). Výpočet se provádí vzorcem 1/(1+r)n, kde r je tržní úroková sazba a n je období. Za první období umocníme číslicí „1“, druhé období umocníme číslicí „2“, atd. V našem reálném příkladu tedy diskontní faktor za období 1, tedy za 13.10.2019, se vypočítá následovně: 1/(1+0.0221)1=0.97838. Za období 2, tedy za 13.10.2020, bude výpočet 1/(1+0.0221)2=0.95722, atd. V MS Excel a v dalších tabulkových procesorech se vzorec nastaví syntaxí 1/(1+0.0221)^1, atp.

Krok 3: Vynásobíme „období“ „příjmem za dané období“ a „diskontním faktorem“, který jsme vypočítali v předchozím kroku (obrázek 3). Tímto výpočtem získáme výsledek, který použijeme jako čitatel ve výpočtu Macaulaovy durace. Tedy například za období 1 bude výpočet následující: 1 * 2 000 * 0.97838 = 1 956.76, atp. Vypočtené výsledky za každé období následně sečteme. Výsledný součet bude použit jako „čitatel“ ve výpočtu Macaulayovy durace.
Obrázek 3: vynásobením období, příjmu a diskontního faktoru a 
následným sečtením všech výsledných hodnot získáme dílčí
výsledek, který slouží jako čitatel při výpočtu samotné durace

Krok 4: Vypočítáme současné hodnoty budoucích příjmů z daného dluhopisu (obrázek 4). Současnou hodnotu každého příjmu vypočítáme vzorcem: hodnota očekávaného příjmu / (1+0.0221)n, tedy v případě výpočtu současné hodnoty příjmu za první období je výpočet následující: 2 000 / (1+0.0221)1 = 1 956.76. Dílčí výpočet za např. poslední patnácté období je následující: 102 000 / (1+0.0221)15 = 73 485.11. Vypočtené současné hodnoty za každé období následně sečteme. Tento celkový součet nám bude sloužit jako „jmenovatel“ ve výpočtu Macaulayovy durace.
Obrázek 4: výpočet současné hodnoty budoucích příjmů


 Výsledná celková současná hodnota v podstatě představuje současnou reálnou tržní cenu dluhopisu. V tomto konkrétním případě by se za nominální hodnotu dluhopisu v objemu CZK 100 000 mělo zaplatit zhruba CZK 97 343.57, tedy cena vyjádřená v procentech by měla být někde okolo 97.34 %. Reálná aktuální kupní cena tohoto dluhopisu se na trzích okolo této hodnoty skutečně pohybuje. Pokud by se aktuální tržní cena dluhopisu významněji lišila od vypočtené současné hodnoty všech budoucích příjmů, pak by byl dluhopis buď nadhodnocen (v případě, že by aktuální tržní cena byla výše než výpočet současné hodnoty), nebo podhodnocen v případě, že by aktuální tržní cena byla významněji pod hodnotou vypočtené současné hodnoty. Takový cenový vývoj by bylo nutné posoudit a vyhodnotit též z jiných hledisek, například podle aktuálních zpráv týkajících se emitenta, atd.

 Krok 5: Výpočet samotné Macaulayovy durace. Pro výše uvedený dluhopis je tedy hodnota durace vypočtena použitím výsledků z kroků 3 a 4. Výsledná hodnota durace se vypočítá následovně: výsledek součtu z kroku 3 použijeme jako čitatel a ten vydělíme jmenovatelem, tedy výsledným součtem současných hodnot z kroku 4. V tomto konkrétním případě se jedná o tato čísla: 1 272 753.49 / 97 343.57 = 13.0749.

 Macaulayova durace konkrétní emise státního dluhopisu České republiky se splatností v roce 2033 (CZGB 2.0/33 s ISIN CZ0001005243) je tedy 13.0749 let. Kombinace poměrně dlouhé doby do splatnosti dluhopisu a relativně nízký kupon působí, že výsledná durace je vysoká. Dluhopis respektive jeho cena bude vykazovat poměrně vysokou citlivost na změny tržních úrokových sazeb. Samotné citlivosti ceny dluhopisu se týká modifikovaná durace, o které bude následující článek.
Labels:

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

The Warrant: A Wrapped Option (Warrant: zabalená opce)

One of the basic structured leveraged instruments, which are exchange traded, is a so-called warrant . Warrant is a type of security, which is in fact a wrapped option. For the purpose of reviewing the warrant and its functioning, it should fully help us to look at the fundaments of options and with them associated terminology and functionalities. A warrant, i.e. an option, provides the right to purchase or to sell a given amount of a defined underlying asset for a given price in a given period of time. The underlying asset can be bought or sold either any time during the life of such warrant (option), in such case we talk about a so-called American style , or at the maturity of the warrant (option), in such case we talk about the so-called European style . A warrant (option) with the right to buy an underlying asset is being bought with the expectation of a future growth of the price of the underlying asset. This type of warrant (option) is called “ Call ”. A warrant with the...
Post a Comment
Read more

Modifikovaná durace

V jednom z minulých příspěvků na téma tržních úrokových sazeb bylo zmíněno základní pravidlo, které se týká cenotvorby dluhopisů: zvyšující se tržní úrokové sazby způsobují pokles cen dluhopisů a naopak. V návaznosti na pokles nebo růst cen dluhopisů adekvátně roste či klesá jejich výnos do splatnosti. Ceny některých dluhopisů však reagují na změny úrokových sazeb citlivěji než ceny dluhopisů jiných. Citlivost ceny dluhopisu na změnu úrokových sazeb udává právě modifikovaná durace, která je velmi sledovaným parametrem investory, správci aktiv, portfolio manažery a poradci. Dluhopisy s vysokou durací vykazují vyšší cenovou volatilitu než dluhopisy s durací nižší. Modifikovaná durace vyjadřuje citlivost ceny dluhopisu na tržní úrokové sazby, jinými slovy modifikovaná durace uvádí, o kolik procentních bodů se změní cena dluhopisu, když se tržní úrokové sazby změní o jeden procentní bod. V případě růstu tržních úrokových sazeb cena dluhopisu klesá a naopak. Vzorec pro výpočet ...
Post a Comment
Read more

Bond Valuation: Part 1 (Ocenění dluhopisů: Část 1)

The recent article presented the concept of the yield to maturity as an universal indicator, which provides the real annual yield offered by a given bond. The universality of this indicator enables to compare various bonds between each other. The yield to maturity derives from the price, for which the given bond can be bought. If the price of the bond grows, its yield to maturity decreases and vice versa. Which factors influence the bond price, respectively its yield to maturity over time? First, it is the creditworthiness of the issuer , and second, it is the development of market interest rates . Market interest rates will be reviewed in the next article. Below we are going to look at the issuer’s creditworthiness. Creditworthiness of the Issuer The more is the issuer creditworthy the lower are his borrowing costs. Among the most reliable issuers are being considered states and their governments, and that is why their bonds are usually more expensive, respectively they offe...
Post a Comment
Read more