V minulém článku byl představen
základní koncept durace dluhopisu podle svého tvůrce F. Macaulaye. Pojďme nyní projít
výpočtem Macaulayovy durace u konkrétního vybraného existujícího dluhopisu.
Duraci není nezbytně nutné vypočítávat tímto způsobem, existují například
internetové kalkulačky, které tuto funkci zastanou. Funkce pro tyto výpočty
jsou obsaženy též v různých tabulkových procesorech (např. MS Excel, Numbers,
atd.). Cílem je však poodkrýt samotný postup a logiku. Pro podpůrné výpočty je
vhodné použití například Excelu nebo některého z jiných tabulkových softwarů.
Vybraným dluhopisem je státní dluhopis
České republiky s poměrně dlouhou dobou do splatnosti, který má označení CZGB 2.0/33. Tento reálný dluhopis má ISIN CZ0001005243. Dluhopis má splatnost v roce 2033, přesně tedy 13.10.2033. Dluhopis vyplácí jednou ročně kupon ve výši 2 %. Kupon
je splatný vždy k 13.10. daného roku. Pro účely výpočtu je též potřeba si určit
tržní úrokovou sazbu. V tomto případě použijeme nejdelší dostupnou, tedy
jednoletou, referenční úrokovou sazbu PRIBOR,
která je aktuálně na úrovni 2.21 % p.a.
Při výpočtu budeme brát v úvahu nominální objem dluhopisu ve výši CZK 100 000.
Postup výpočtu probíhá v následujících krocích:
Krok 1: Vydefinujeme si příjmy z dluhopisu (obrázek 1). Vybraný dluhopis vyplácí kupon jednou ročně (vždy v říjnu). Splatnost dluhopisu nastane v říjnu 2033, kdy bude vyplacen poslední kupon a dojde ke splacení jistiny, tedy nominálního objemu.
Krok 2: Vypočítáme tzv. diskontní
faktor pro každé období (obrázek 2). Výpočet se provádí vzorcem 1/(1+r)n, kde r je
tržní úroková sazba a n je období.
Za první období umocníme číslicí „1“, druhé období umocníme číslicí „2“, atd. V našem
reálném příkladu tedy diskontní faktor za období 1, tedy za 13.10.2019, se
vypočítá následovně: 1/(1+0.0221)1=0.97838. Za období 2, tedy za
13.10.2020, bude výpočet 1/(1+0.0221)2=0.95722, atd. V MS Excel
a v dalších tabulkových procesorech se vzorec nastaví syntaxí 1/(1+0.0221)^1,
atp.
Krok 4: Vypočítáme současné hodnoty budoucích příjmů z daného dluhopisu (obrázek 4). Současnou hodnotu každého příjmu vypočítáme vzorcem: hodnota očekávaného příjmu / (1+0.0221)n, tedy v případě výpočtu současné hodnoty příjmu za první období je výpočet následující: 2 000 / (1+0.0221)1 = 1 956.76. Dílčí výpočet za např. poslední patnácté období je následující: 102 000 / (1+0.0221)15 = 73 485.11. Vypočtené současné hodnoty za každé období následně sečteme. Tento celkový součet nám bude sloužit jako „jmenovatel“ ve výpočtu Macaulayovy durace.
Výsledná celková současná hodnota v podstatě představuje současnou reálnou tržní cenu dluhopisu. V tomto konkrétním případě by se za nominální hodnotu dluhopisu v objemu CZK 100 000 mělo zaplatit zhruba CZK 97 343.57, tedy cena vyjádřená v procentech by měla být někde okolo 97.34 %. Reálná aktuální kupní cena tohoto dluhopisu se na trzích okolo této hodnoty skutečně pohybuje. Pokud by se aktuální tržní cena dluhopisu významněji lišila od vypočtené současné hodnoty všech budoucích příjmů, pak by byl dluhopis buď nadhodnocen (v případě, že by aktuální tržní cena byla výše než výpočet současné hodnoty), nebo podhodnocen v případě, že by aktuální tržní cena byla významněji pod hodnotou vypočtené současné hodnoty. Takový cenový vývoj by bylo nutné posoudit a vyhodnotit též z jiných hledisek, například podle aktuálních zpráv týkajících se emitenta, atd.
Krok 5: Výpočet samotné Macaulayovy durace. Pro výše uvedený dluhopis je tedy hodnota durace vypočtena použitím výsledků z kroků 3 a 4. Výsledná hodnota durace se vypočítá následovně: výsledek součtu z kroku 3 použijeme jako čitatel a ten vydělíme jmenovatelem, tedy výsledným součtem současných hodnot z kroku 4. V tomto konkrétním případě se jedná o tato čísla: 1 272 753.49 / 97 343.57 = 13.0749.
Macaulayova durace konkrétní emise státního dluhopisu České republiky se splatností v roce 2033 (CZGB 2.0/33 s ISIN CZ0001005243) je tedy 13.0749 let. Kombinace poměrně dlouhé doby do splatnosti dluhopisu a relativně nízký kupon působí, že výsledná durace je vysoká. Dluhopis respektive jeho cena bude vykazovat poměrně vysokou citlivost na změny tržních úrokových sazeb. Samotné citlivosti ceny dluhopisu se týká modifikovaná durace, o které bude následující článek.
 |
Obrázek 1: výčet očekávaných příjmů
do splatnosti dluhopisu
|
Postup výpočtu probíhá v následujících krocích:
Krok 1: Vydefinujeme si příjmy z dluhopisu (obrázek 1). Vybraný dluhopis vyplácí kupon jednou ročně (vždy v říjnu). Splatnost dluhopisu nastane v říjnu 2033, kdy bude vyplacen poslední kupon a dojde ke splacení jistiny, tedy nominálního objemu.
 |
Obrázek 2: výpočet diskontního
faktoru
|
Krok 3: Vynásobíme „období“ „příjmem
za dané období“ a „diskontním faktorem“, který jsme vypočítali v předchozím
kroku (obrázek 3). Tímto výpočtem získáme výsledek, který použijeme jako čitatel ve výpočtu
Macaulaovy durace. Tedy například za období 1 bude výpočet následující: 1 * 2 000
* 0.97838 = 1 956.76, atp. Vypočtené výsledky za každé období následně sečteme.
Výsledný součet bude použit jako „čitatel“ ve výpočtu Macaulayovy durace.
 |
Obrázek 3: vynásobením období, příjmu a diskontního faktoru a
následným sečtením všech výsledných hodnot získáme dílčí
výsledek, který slouží jako čitatel při výpočtu samotné durace
|
Krok 4: Vypočítáme současné hodnoty budoucích příjmů z daného dluhopisu (obrázek 4). Současnou hodnotu každého příjmu vypočítáme vzorcem: hodnota očekávaného příjmu / (1+0.0221)n, tedy v případě výpočtu současné hodnoty příjmu za první období je výpočet následující: 2 000 / (1+0.0221)1 = 1 956.76. Dílčí výpočet za např. poslední patnácté období je následující: 102 000 / (1+0.0221)15 = 73 485.11. Vypočtené současné hodnoty za každé období následně sečteme. Tento celkový součet nám bude sloužit jako „jmenovatel“ ve výpočtu Macaulayovy durace.
 |
| Obrázek 4: výpočet současné hodnoty budoucích příjmů |
Výsledná celková současná hodnota v podstatě představuje současnou reálnou tržní cenu dluhopisu. V tomto konkrétním případě by se za nominální hodnotu dluhopisu v objemu CZK 100 000 mělo zaplatit zhruba CZK 97 343.57, tedy cena vyjádřená v procentech by měla být někde okolo 97.34 %. Reálná aktuální kupní cena tohoto dluhopisu se na trzích okolo této hodnoty skutečně pohybuje. Pokud by se aktuální tržní cena dluhopisu významněji lišila od vypočtené současné hodnoty všech budoucích příjmů, pak by byl dluhopis buď nadhodnocen (v případě, že by aktuální tržní cena byla výše než výpočet současné hodnoty), nebo podhodnocen v případě, že by aktuální tržní cena byla významněji pod hodnotou vypočtené současné hodnoty. Takový cenový vývoj by bylo nutné posoudit a vyhodnotit též z jiných hledisek, například podle aktuálních zpráv týkajících se emitenta, atd.
Krok 5: Výpočet samotné Macaulayovy durace. Pro výše uvedený dluhopis je tedy hodnota durace vypočtena použitím výsledků z kroků 3 a 4. Výsledná hodnota durace se vypočítá následovně: výsledek součtu z kroku 3 použijeme jako čitatel a ten vydělíme jmenovatelem, tedy výsledným součtem současných hodnot z kroku 4. V tomto konkrétním případě se jedná o tato čísla: 1 272 753.49 / 97 343.57 = 13.0749.
Macaulayova durace konkrétní emise státního dluhopisu České republiky se splatností v roce 2033 (CZGB 2.0/33 s ISIN CZ0001005243) je tedy 13.0749 let. Kombinace poměrně dlouhé doby do splatnosti dluhopisu a relativně nízký kupon působí, že výsledná durace je vysoká. Dluhopis respektive jeho cena bude vykazovat poměrně vysokou citlivost na změny tržních úrokových sazeb. Samotné citlivosti ceny dluhopisu se týká modifikovaná durace, o které bude následující článek.
Comments
Post a Comment